線性代數(shù)同濟(jì)第七版pdf電子版免費(fèi)版

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線性代數(shù)同濟(jì)七版怎么學(xué)習(xí)

線性代數(shù)怎么學(xué)習(xí)

線性代數(shù)其實(shí)不難學(xué)，但是某些腦殘的教材導(dǎo)致了大家覺得線性代數(shù)難學(xué)。對，我說的就是同濟(jì)版，居然用行列式來起手線性代數(shù)學(xué)習(xí)，一開始逆序數(shù)定義就來得莫名其妙，然后那一大坨行列式的定義式更讓人望而生畏，后面再來一大篇幅的各種花式求行列式，當(dāng)年作為一個(gè)萌新的我，直接就喪失了學(xué)習(xí)線性代數(shù)的信心以及興趣了。吐槽完畢。

要學(xué)好線性代數(shù)，最重要的是抓住線性代數(shù)的主線。線性代數(shù)的主線就是線性空間以及線性映射，整個(gè)線性代數(shù)的概念公式定義定理都是圍繞著線性空間以及線性映射展開的。你要做的，就是緊緊抓住這條主線，把線性代數(shù)的所有知識(shí)點(diǎn)串聯(lián)起來，然后融會(huì)貫通，自然就能學(xué)好線性代數(shù)了。

1，線性空間。線性空間的定義比較抽象，簡單的說，就是向量組成的一個(gè)集合，這個(gè)集合可以定義加法以及純量乘法，并且對加法以及乘法滿足交換律結(jié)合律以及分配率。這個(gè)集合以及定義在集合上的代數(shù)運(yùn)算就是線性空間。

研究線性空間有幾個(gè)途徑，一是基與維數(shù)，二是同構(gòu)，三是子空間與直和以及商空間，四是線性映射。

先講講基與維數(shù)。一個(gè)線性空間必定存在基，線性空間的任意元素都可以由基線性表出，且表出方式唯一，這個(gè)唯一的表出的組合就是這個(gè)元素在這個(gè)基下的坐標(biāo)。線性表出且表出方式唯一的充分必要條件是什么？這里又引出了線性無關(guān)以及極大線性無關(guān)組的概念，極大線性無關(guān)組元素的個(gè)數(shù)又能引出秩的概念。由秩又能引出維度的概念。以上這些概念都是為了刻畫線性空間的基與維數(shù)而衍生出來的，并不是憑空出現(xiàn)無中生有的。

下面再談?wù)勍瑯?gòu)。線性空間千千萬，應(yīng)如何研究呢？同構(gòu)就是這樣一個(gè)強(qiáng)大的概念，任何維數(shù)相同的線性空間之間是同構(gòu)的，空間的維數(shù)是簡單而深刻的，簡單的自然數(shù)居然能夠刻畫空間最本質(zhì)的性質(zhì)。借助于同構(gòu)，要研究任意一個(gè)n維線性空間，只要研究Rⁿ就行了。

n維線性空間作為一個(gè)整體，我們自然想到能不能先研究它的局部性質(zhì)？所以自然而然的導(dǎo)出了子空間的概念以及整個(gè)空間的直和分解。直和分解要求把整個(gè)空間分解為兩兩不交的子空間之和，通過研究各個(gè)簡單的子空間的性質(zhì)，從而得出整個(gè)空間的性質(zhì)。

2，線性映射。

前面講了線性空間，舞臺(tái)搭好了，輪到主角：線性映射登場了。

線性映射的定義這里就不贅述了。我們小學(xué)就學(xué)過正比例函數(shù)y=kx，這是一個(gè)最簡單的一維線性映射，也是一個(gè)具體的線性映射'模型'，線性映射的所有性質(zhì)對比著正比例函數(shù)來看，一切都是那么簡單易懂。現(xiàn)在把定義域從一維升級(jí)到多維，值域也從一維升級(jí)到多維，然后正比例系數(shù)k也升級(jí)為一個(gè)矩陣，那么這個(gè)正比例函數(shù)就升級(jí)為一個(gè)線性映射了。

1)線性映射的核空間。這是線性映射的一個(gè)重要的概念，什么是線性映射的核空間呢？簡單的說，就是映射到零的原像的集合，記作KER。用正比例函數(shù)來類比，顯然當(dāng)k不等于0時(shí)，它的核是零空間，當(dāng)k為零時(shí)，它的核空間是整個(gè)R。

有時(shí)候需要判定一個(gè)線性映射是不是單射，按照定義來還是沒那么好證的，這時(shí)我們可以從它的核來判定，只要它的核是零，那么這個(gè)線性映射必然是單射。

2)線性映射的像。當(dāng)自變量取遍整個(gè)定義域時(shí)，它的像的取值范圍成為一個(gè)線性子空間，稱為像空間，記作IM。

3)線性映射的矩陣表示。一個(gè)抽象的線性映射應(yīng)如何'解析'的表達(dá)出來呢？這個(gè)表達(dá)式寫出來就是一個(gè)矩陣，且這個(gè)矩陣依賴于基的選擇。也就是說在不同的基下，線性映射有不同的矩陣�；�有無窮個(gè)，相應(yīng)的矩陣有無窮個(gè)。這就給用矩陣研究線性映射帶來了麻煩。

幸好我們有相似矩陣。同一個(gè)線性映射在不同的基下的矩陣是相似關(guān)系，相似不變量有秩，行列式，跡，特征值，特征多項(xiàng)式等。所以可以通過相似矩陣來研究線性映射的秩，行列式，跡，特征值，特征多項(xiàng)式等性質(zhì)。

線性映射的矩陣有無窮多，那么這其中有哪些是值得關(guān)注的呢？第一就是標(biāo)準(zhǔn)正交基下的矩陣了，這也是最常見的。

然而一個(gè)線性映射的矩陣在標(biāo)準(zhǔn)正交基下可能特別復(fù)雜，所以需要選擇一組特殊的基，讓它的矩陣在這個(gè)基下有最簡單的矩陣表示。如果存在這樣的基，使得線性映射的矩陣為對角矩陣，則稱這個(gè)線性映射可對角化。

然而是不是所有線性映射都可以對角化呢，遺憾的是，并不是。那么就要問，如果一個(gè)線性映射不能對角化，那么它的最簡矩陣是什么？這個(gè)問題的答案是若爾當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型。可以證明，在復(fù)數(shù)域上，任何線性映射都存在唯一的若爾當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型。

線性代數(shù)是什么

和運(yùn)算里迷失了。

我在初接觸線性代數(shù)的時(shí)候簡直感覺這是一門天外飛仙的學(xué)科，一個(gè)疑問在我腦子里浮現(xiàn)出來：

線性代數(shù)到底是一種客觀的自然規(guī)律還是人為的設(shè)計(jì)？

如果看到這個(gè)問題，你的反應(yīng)是“這還用問，數(shù)學(xué)當(dāng)然是客觀的自然規(guī)律了”，我一點(diǎn)兒都不覺得奇怪，我自己也曾這樣認(rèn)為。從中學(xué)的初等數(shù)學(xué)和初等物理 一路走來，很少人去懷疑一門數(shù)學(xué)學(xué)科是不是自然規(guī)律，當(dāng)我學(xué)習(xí)微積分、概率統(tǒng)計(jì)時(shí)也從來沒有懷疑過，唯獨(dú)線性代數(shù)讓我產(chǎn)生了懷疑，因?yàn)樗�的各種符號(hào)和運(yùn)算 規(guī)則太抽象太奇怪，完全對應(yīng)不到生活經(jīng)驗(yàn)。所以，我還真要感謝線性代數(shù)，它引發(fā)了我去思考一門數(shù)學(xué)學(xué)科的本質(zhì)。其實(shí)，不止是學(xué)生，包括很多數(shù)學(xué)老師都不清 楚線性代數(shù)到底是什么、有什么用，不僅國內(nèi)如此，在國外也是這樣，國內(nèi)的孟巖寫過《理解矩陣》，國外的Sheldon Axler教授寫過《線性代數(shù)應(yīng)該這樣學(xué)》，但都還沒有從根本上講清楚線性代數(shù)的來龍去脈。對于我自己來講，讀大學(xué)的時(shí)候沒有學(xué)懂線性代數(shù)，反而是后來從編程的角度理解了它。很多人說數(shù)學(xué)好可以幫助編程，我恰好反過來了，對程序的理解幫助了我理解數(shù)學(xué)。

本文的目標(biāo)讀者是程序員，下面我就帶各位做一次程序員在線性代數(shù)世界的深度歷險(xiǎn)！既然是程序員，在進(jìn)入線性代數(shù)的領(lǐng)域之前，我們不妨先從考察一番程序世界，請思考這樣一個(gè)問題：

計(jì)算機(jī)里面有匯編、C/C++、Java、Python等通用語言，還有Makefile、CSS、SQL等DSL，這些語言是一種客觀的自然規(guī)律還是人為的設(shè)計(jì)呢？

為什么要問這樣一個(gè)看起來很蠢的問題呢？因?yàn)樗�的答案顯而易見，大家對天天使用的程序語言的認(rèn)識(shí)一定勝過抽象的線性代數(shù)，很顯然程序語言雖然包含了 內(nèi)在的邏輯，但它們本質(zhì)上都是人為的設(shè)計(jì)。所有程序語言的共同性在于：建立了一套模型，定義了一套語法，并將每種語法映射到特定的語義。程序員和語言實(shí)現(xiàn) 者之間遵守 語言契約：程序員保證代碼符合語言的語法，編譯器/解釋器保證代碼執(zhí)行的結(jié)果符合語法相應(yīng)的語義。比如，C++規(guī)定用new A語法在堆上構(gòu)造對象A，你這樣寫了C++就必須保證相應(yīng)的執(zhí)行效果，在堆上分配內(nèi)存并調(diào)用A的構(gòu)造函數(shù)，否則就是編譯器違背語言契約。

從應(yīng)用的角度，我們能不能把線性代數(shù)視為一門程序語言呢？答案是肯定的，我們可以用語言契約作為標(biāo)準(zhǔn)來試試。假設(shè)你有一個(gè)圖像，你想把它旋轉(zhuǎn)60 度，再沿x軸方向拉伸2倍；線性代數(shù)告訴你，“行！你按我的語法構(gòu)造一個(gè)矩陣，再按矩陣乘法規(guī)則去乘你的圖像，我保證結(jié)果就是你想要的”。

實(shí)際上，線性代數(shù)和SQL這樣的DSL非常相似，下面來作一些類比：

模型和語義：SQL是在低級(jí)語言之上建立了關(guān)系模型，核心語義是關(guān)系和關(guān)系運(yùn)算；線性代數(shù)在初等數(shù)學(xué)之上建立了向量模型，核心語義是向量和線性變換

語法：SQL為每種語義定義了相應(yīng)的語法，如select, where, join等；線性代數(shù)也定義了向量、矩陣、矩陣乘法等語義概念相應(yīng)的語法

編譯/解釋：SQL可以被編譯/解釋為C語言；線性代數(shù)相關(guān)概念和運(yùn)算規(guī)則可以由初等數(shù)學(xué)知識(shí)來解釋

實(shí)現(xiàn)：我們可以在MySQL、Oracle等關(guān)系數(shù)據(jù)庫上進(jìn)行SQL編程；我們也可以在MATLAB、Mathematica等數(shù)學(xué)軟件上進(jìn)行線性代數(shù)編程

所以，從應(yīng)用的角度看， 線性代數(shù)是一種人為設(shè)計(jì)的領(lǐng)域特定語言(DSL)，它建立了一套模型并通過符號(hào)系統(tǒng)完成語法和語義的映射。實(shí)際上，向量、矩陣、運(yùn)算規(guī)則的語法和語義都是人為的設(shè)計(jì)，這和一門語言中的各種概念性質(zhì)相同，它是一種創(chuàng)造，但是前提是必須滿足語言契約。

為什么要有線性代數(shù)？

可能有人對把線性代數(shù)當(dāng)成一門DSL不放心，我給你一個(gè)矩陣，你就把我的圖形旋轉(zhuǎn)了60度沿x軸拉伸了2倍，我總感覺不踏實(shí)啊，我都不知道你“底 層”是怎么做！其實(shí)，這就像有的程序員用高級(jí)語言不踏實(shí)，覺得底層才是程序的本質(zhì)，老是想知道這句話編譯成匯編是什么樣？那個(gè)操作又分配了多少內(nèi)存？別人 在Shell里直接敲一個(gè)wget命令就能取下一個(gè)網(wǎng)頁，他非要用C語言花幾十分鐘來寫一堆代碼才踏實(shí)。其實(shí)，所謂底層和上層只是一種習(xí)慣性的說法，并不 是誰比誰更本質(zhì)。 程序的編譯和解釋本質(zhì)上是不同模型間的語義映射，通常情況下是高級(jí)語言映射為低級(jí)語言，但是完全也可以把方向反過來。Fabrice Bellard用Java寫了一個(gè)虛擬機(jī)，把Linux跑在Java虛擬機(jī)上，這就是把機(jī)器模型往Java模型上映射。

建立新模型肯定依賴于現(xiàn)有的模型，但這是建模的手段而不是目的，任何一種新模型的目的都為了更簡單地分析和解決某一類問題。線性代數(shù)在建立的時(shí)候，它的各種概念和運(yùn)算規(guī)則依賴于初等數(shù)學(xué)的知識(shí)，但是一旦建立起來這層抽象模型之后，我們就 應(yīng)該習(xí)慣于直接利用高層次的抽象模型去分析和解決問題。