曲率的計算公式為:
來源:為了平衡曲線的彎曲程度。
平均曲率,這個定義描述了AB曲線上的平均彎曲程度。其中表示曲線段AB上切線變化的角度,為AB弧長。A點,為精確刻畫此點處曲線的彎曲程度,可令,即定義,為了方便使用,一般令曲率為正數,即:。 、時, 、時, 、時,(令)x求導,得,推出。ds代入公式中:T5-29)如圖為在該點做曲線的法線(在凹的一側),在法線上取圓心,以ρ為半徑做圓,則此圓稱為該點處的曲率圓。曲率圓與該點有相同的曲率,切線及一階、兩階稻樹。T5-30)
例:對于圓,。所以:圓周的曲率為,是常數。
而直線上,所以,即直線“不彎曲”。
對于一個點,如
3.5.2 計算公式的推導:
由于,所以要推導與ds的表示法,ds稱為曲線弧長的微分(T5-28,P218)
因為,所以。
令,同時用代替得
所以或
具體表示;
1
2
3
再推導,因為,所以,兩邊對
下面將與
,即為曲率的計算公式。
3.5.3 曲率半徑:
一般稱為曲線在某一點的曲率半徑。
幾何意義(
應用舉例:求上任一點的曲率及曲率半徑(
解:由于:
所以:,
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