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中國古代數(shù)學(xué)九章算術(shù)

近代著名科學(xué)家伽利略曾提到“自然這本大書是用數(shù)學(xué)的語言寫成的�！睌�(shù)學(xué)不僅在人類探索宇宙和研究自然的過程中起到了重要的作用，而且作為一種生產(chǎn)工具和認(rèn)識世界的方法論。在人類社會的不同時期，對社會的發(fā)展和進(jìn)步都起了至關(guān)重要的作用。而我國的數(shù)學(xué)應(yīng)用，從出土的甲骨文來看，最遲當(dāng)在殷商時期已有數(shù)字應(yīng)用的記載了。

從原始社會的結(jié)繩計數(shù)到算術(shù)、幾何、再到微積分，都包含了人類共同智慧的結(jié)晶。而《九章算術(shù)》就是中國古代數(shù)學(xué)著作中最為閃亮的一顆星。

中國古代數(shù)學(xué)基本以《九章算術(shù)》為核心，它一直是人們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重要教科書。十六世紀(jì)以前的中國數(shù)學(xué)著作，從成書方式來看，大都沿襲《九章算術(shù)》的體例。在歷代先賢的不斷學(xué)習(xí)、引用和完善下，其日漸完備，并逐漸形成我國古代初等數(shù)學(xué)的體系。為日后我國數(shù)學(xué)知識體系的不斷完善與發(fā)展打下了堅實基礎(chǔ)。

一、《九章算術(shù)》的出現(xiàn)

在春秋戰(zhàn)國數(shù)學(xué)發(fā)展的基礎(chǔ)上，秦漢時期出現(xiàn)了我國古代最早的一批數(shù)學(xué)專著，見于《漢書·藝文志》著錄的《杜忠算術(shù)》和《許商算術(shù)》兩部數(shù)學(xué)書，早已失傳�，F(xiàn)在傳本的《九章算術(shù)》九卷在《漢書·藝文志》中則沒有著錄。班固的《漢書·藝文志》是依據(jù)劉歆的《七略》寫成的，可知《九章算術(shù)》的編成當(dāng)在劉歆《七略》之后，在公元五十年前后漢光武帝時的鄭眾解釋《周禮》“九數(shù)”時，“勾股”的概念還沒有被安排到“九數(shù)”內(nèi)去，說明包含勾股章的《九章算術(shù)》的編成不會在公元50年之前。另外，《后漢書·馬援傳》說，他的侄孫馬續(xù)“十六治詩，博觀群籍，善《九章算術(shù)》。”馬續(xù)是馬融的哥哥，其生年約在公元70年前后，他研究《九章算術(shù)》大概是在公元90年前后。因此，《九章算術(shù)》的成書大約是在公元50年到100年之間。

《九章算術(shù)》是我國現(xiàn)有傳本的古算書中最古老的數(shù)學(xué)著作，對后世歷代數(shù)學(xué)的發(fā)展，影響很大。它的出現(xiàn)，標(biāo)志著我國古代以算籌為工具，具有自己獨特風(fēng)格的數(shù)學(xué)體系的形成。

經(jīng)過春秋戰(zhàn)國到西漢中期數(shù)百年間政治、經(jīng)濟(jì)和文化的發(fā)展，《九章算術(shù)》比較系統(tǒng)地總結(jié)和概括了這段時期人們在社會實踐中積累的數(shù)學(xué)成果。這一時期的社會變革和生產(chǎn)發(fā)展，給數(shù)學(xué)提出了不少急待解決的測量和計算的問題。比如，要實行按田畝多寡“履畝而稅”的政策，就需要測量和計算各種形狀的土地面積；要合理地攤派稅收就需要進(jìn)行各種比例分配和攤派的計算；建造大規(guī)模的水利工程、土木工程則需要計算各種形狀的體積以及如何合理地使用人力、物力；商業(yè)、貿(mào)易的發(fā)展，也是需要解決各種按比例核算等問題；還有天文歷法的精確推算等等。

《九章算術(shù)》正是由各類問題中，選出二百四十六個例題，按解題的方法和應(yīng)用的范圍分為九大類，每一大類為一章，編輯而成的。它所提供的數(shù)學(xué)解法，是為當(dāng)時生產(chǎn)和科學(xué)技術(shù)的進(jìn)一步發(fā)展，以及為封建政府計算賦稅、攤派徭役等，提供了方便。

據(jù)數(shù)學(xué)史學(xué)者考證，我們現(xiàn)在所見到的《九章算術(shù)》雖大約成書于公元一世紀(jì)，但并不是一時一人之作，而是經(jīng)由很多人的修改和補充，才逐漸發(fā)展完備起來的�！吨芏Y》記載，授予貴族子弟的六門課程中有“九數(shù)”一項，所謂“九數(shù)”指的是數(shù)學(xué)分為九個細(xì)目。三國時代的劉徽曾為《九章算術(shù)》做過有名的注釋工作，他在注《九章算術(shù)》的序言中說：“九數(shù)之流則九章是矣�！眲⒒丈�活的時代，距《九章算術(shù)》成書的時代較近，他的話應(yīng)是可信的，即戰(zhàn)國時期的“九數(shù)”乃是《九章算術(shù)》的濫觴。劉徽還說：“漢北平侯張蒼，大司農(nóng)中丞耿壽昌皆以善算命世。蒼等因舊文之遺殘，各稱刪補。故校其目與古或異，而所論者多近語也。”這也說明在張蒼之前已有“舊文”，而現(xiàn)存的《九章》是由張蒼等人在“舊文”基礎(chǔ)上增刪而成。

由此可說明《九章算術(shù)》一書，是經(jīng)過長時期由許多人刪訂增補才最后成書的，它是中國先秦至漢初許多學(xué)者共同工作的結(jié)晶。

《九章算術(shù)》首次提出并應(yīng)用了“負(fù)數(shù)”

二、《九章算術(shù)》的地位及流傳

從三國到唐代初年的幾百年間，是《九章算術(shù)》流傳史上的繁榮時期，期間一批杰出數(shù)學(xué)家可以說都是通過學(xué)習(xí) 、研究《九章算術(shù)》而培養(yǎng)出來的。

中國的學(xué)者不同于西方學(xué)者喜歡自己著書立說，他們往往通過對現(xiàn)有典籍的注釋來表達(dá)自己的思想。而對于《九章算術(shù)》的注釋。三國時期的劉徽可能是給《九章算術(shù)》作注的第一個數(shù)學(xué)家，也是能夠流傳下來的最有名的注解。他所采用的方法是“析理以辭，解體用圖”。就是說是用文辭和圖形兩種方法相結(jié)合對《九章算術(shù)》進(jìn)行注釋�，F(xiàn)傳的《九章算術(shù)》有劉徽的詳細(xì)文字注釋，且在文字中多次提到圖形，但是沒有一幅圖形在書中。這些圖形應(yīng)該是在流傳中被刪去了，或是散逸了。

劉徽的《九章算術(shù)注》特別詳細(xì)，很多地方注文遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過原文，有些則形同獨立的論文。其對于《九章算術(shù)》的完善大致有這幾方面。首先是對名詞術(shù)語進(jìn)行了解釋或給出了相當(dāng)于定義的文字。其次他給幾乎所有的計算公式或定理性的敘述進(jìn)行了邏輯論證或說明道理。也對原文的個別部分和某些相關(guān)的問題進(jìn)行了有理有據(jù)地分析批判，用辭犀利，切中要害。在此基礎(chǔ)上，劉徽還提出了許多新概念、新思想和新方法。最后是對于前人的思想方法的吸收。這些前人的思想有些直接寫進(jìn)了注中，有些則把它發(fā)展、擴(kuò)充為獨立的篇章，如“重差”即為一例，他說：

徽以為今之史籍且略舉天地之物，考論厥數(shù)，載之于志，以闡世術(shù)之美。輒造重差，并為注解，以究古人之意，綴于勾股之下。

就是說劉徽在原書九章之末又加了一章，因而劉徽注本《幾章算術(shù)》為十章，這是其流傳史上的第一次大變化。

劉徽之后，據(jù)史籍記載，為《九章算術(shù)》寫過注解的還有著名數(shù)學(xué)家祖沖之等人，可惜這些注解都在漫長的歷史海洋中遺失了。

可以說，南北朝時期，《九章算術(shù)》的流傳已經(jīng)相當(dāng)廣泛，它已成為時人學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的必讀書。當(dāng)時屢有出現(xiàn)以“九章”為名的數(shù)學(xué)著作。“九章”在南北朝這段時期在某種程度上已然成為了算學(xué)的代名詞。

而到了隋唐時期，特別是唐代前期，《九章算術(shù)》由于被官方列為主要數(shù)學(xué)教科書而形成了第一個流傳高峰。

在隋代，國家設(shè)置算學(xué)博士，為教授數(shù)學(xué)的國家教師。唐代因之，但教育規(guī)模上要比隋代大得多。為了教學(xué)的需要，李淳風(fēng)、梁述、王真儒等 “受詔注《五曹》、《孫子》十部算經(jīng)，書成，唐高祖令國學(xué)行用�！�

在這“十部算經(jīng)” 中《九章算術(shù)》是最重要的教材之一。這次注釋是在劉徽的基礎(chǔ)上進(jìn)行的，大部分都是寫在劉徽未注的地方。有部分為重新注解，或繼續(xù)劉徽注闡釋同一問題。在注中除對一些名詞等的解釋外，還有對劉徽注的一些改動。注中也包括不少新意和保留了一些有價值的史料，在數(shù)學(xué)史上有其重要性。

《九章算術(shù)》被列為國家“明算科”的教科書“十部算經(jīng)”之一，不但肯定了其在中國數(shù)學(xué)史上的地位，而且在流傳上也是有很大好處的�！懊魉憧啤钡膶W(xué)生多則達(dá)三十幾人，少則幾人。它的歷史也不是一二屆，而是斷斷續(xù)續(xù)維持了一百多年，究竟有多少學(xué)數(shù)學(xué)的學(xué)生實無法統(tǒng)計，粗略估計恐不下一二百人。這些人大都是要學(xué)習(xí)《九章算術(shù)》的。但有時也把學(xué)生分為兩組，一組學(xué)習(xí)《九章算術(shù)》，另一組不學(xué)，而且人數(shù)各占一半。就算如此，學(xué)習(xí)過《九章算術(shù)》的學(xué)生也要有半百左右。這些學(xué)生都得有書，就要出現(xiàn)幾十部紙抄本《九章算術(shù)》，畢業(yè)后這些抄本便被帶到了全國各地。由此可想見《九章算術(shù)》在唐代的流傳之廣。遺憾的是，這批紙抄本《九章算術(shù)》連一本也未保存下來。

《九章算術(shù)》不僅在國內(nèi)大量流傳。而且在唐代也傳到了朝鮮、日本等鄰國。日本來中國的人中，“遣唐使”對文化的交流起了主要作用。他們來中國的一個主要目的就是向中國學(xué)習(xí)先進(jìn)文化，因此他們在中國生活、學(xué)習(xí)了一段時間回國后，把很多中國的文化、習(xí)俗等都帶去了日本。作為大國先進(jìn)文化的代表，對《九章算術(shù)》的學(xué)習(xí)、傳播自然也包括其中。而當(dāng)時的唐朝及附屬國渤海也都有人不斷去朝鮮和日本。這無疑也推動了《九章算術(shù)》的向外傳播。

算籌

三、《九章算術(shù)》的數(shù)學(xué)思想及方法

一、《九章算術(shù)》具有天然的開放性和實用性。

《九章算術(shù)》的內(nèi)容緊密聯(lián)系實際，目的是解決人們生產(chǎn)、生活中遇到的數(shù)學(xué)問題。該書的一些章節(jié)直接與某些官員的職責(zé)相關(guān)。如“方田”章直接與“籍田令”(掌管耕種宗廟社稷之田的官員)的職責(zé)相關(guān)；“均輸”章直接與“均輸令”(掌管統(tǒng)一征收、買賣和運輸貨物的官員)的職責(zé)相關(guān)。“少廣”章和“商功”章的部分內(nèi)容直接服務(wù)于“符節(jié)令”和“鐘官令”等官職。所以，《九章算術(shù)》所提供的數(shù)學(xué)方法是中國古代許多官員必備的技藝的一種。這就決定了其必然不斷反映現(xiàn)實需要，回答實踐中提出的各種數(shù)學(xué)問題，以開放的結(jié)構(gòu)與時俱進(jìn)、吐故納新。

二、《九章算術(shù)》的算法化。

在實用思想指導(dǎo)下，古代中國人習(xí)慣于把問題數(shù)值化、離散化，利用具體的數(shù)值計算來解決一系列復(fù)雜的應(yīng)用問題或理論問題。這種計算思想重視的是構(gòu)造出可利用算籌計算的算法。中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)實用性的特征，決定了它的發(fā)展是以解決實際應(yīng)用問題和提高計算技術(shù)為其主要目標(biāo)。

我國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)是沿著注重從實踐經(jīng)驗中產(chǎn)生和發(fā)展數(shù)學(xué)的思維方式發(fā)展數(shù)學(xué)的，擅長于算。這與西方數(shù)學(xué)的道路是不同的。中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)思想有著自己的淵源和模式。在初等數(shù)學(xué)領(lǐng)域之內(nèi)，正是這種傳統(tǒng)數(shù)學(xué)思想把我國數(shù)學(xué)推向世界的最高峰，許多國家與我國相比，望塵莫及。

中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)本質(zhì)上是一種構(gòu)造性數(shù)學(xué)，數(shù)學(xué)對象及結(jié)果基本上均可由固定的演算程序經(jīng)有限步驟得到，各種計算均依固定的演算程序進(jìn)行，發(fā)展起一套程序化、機械化的算法體系。

《九章算術(shù)》的主要內(nèi)容是“術(shù)”，而每一個“術(shù)”都是由帶有具體數(shù)值的一些具體問題引出，“術(shù)”實際上是處理相應(yīng)數(shù)值的算法，它可以在古代中國長期使用的計算工具——算籌上機械地進(jìn)行，其中的很多算法甚至可以容易地轉(zhuǎn)化成現(xiàn)代的計算機語言。

三、《九章算術(shù)》的模型化。

《九章算術(shù)》中大多數(shù)問題都具有一般性解法，是一類問題的模型，同類問題可以按同種方法解出。其實，以問題為中心、以算法為基礎(chǔ)，主要依靠歸納思維建立數(shù)學(xué)模型，強調(diào)基本法則及其推廣，是中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)思想的精髓之一。

中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的實用性，要求數(shù)學(xué)研究的結(jié)果能對各種實際問題進(jìn)行分類。對每類問題給出統(tǒng)一的解法，以歸納為主的思維方式和以問題為中心的研究方式，傾向于建立基本問題的結(jié)構(gòu)與解題模式，一般問題則被化歸、分解為基本問題解決。

由于中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)未能建立起一套抽象的數(shù)學(xué)符號系統(tǒng)，對一般原理、法則的敘述一方面是借助文辭，一方面是通過具體問題的解題過程加以演示，使具體問題成為相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型。這既是中國古代數(shù)學(xué)區(qū)別于西方的重要特色，也是我國古代數(shù)學(xué)一直缺乏創(chuàng)新力的主要原因。故而對于此點，我們要辯證的看待和吸收、繼承。

四、數(shù)形結(jié)合直覺把握

數(shù)和形是數(shù)學(xué)中最基本的原始概念，《九章算術(shù)》開創(chuàng)了中國古代數(shù)學(xué)中數(shù)形結(jié)合的獨特的研究方法。其表現(xiàn)為，用數(shù)的計算來解決形的研究的若干理論問題，如“方田”、“商功”章的種種平面圖形和立體圖形的求積問題，都用數(shù)的計算，即著重于考察圖形中數(shù)的關(guān)系，算出確定的數(shù)值，來得出積與邊、高、徑長的關(guān)系。同時，也用形的直觀來解釋數(shù)的算法，如對“開方術(shù)”、“開立方術(shù)”等，為以圖形作解釋打下基礎(chǔ)(實際的解釋是劉徽完成的，借助于面積和體積的圖解對開平方和開立方作了通俗易懂的說明。在劉徽的注文中，更是把它發(fā)展為“析理以辭、解體用圖”這樣一套系統(tǒng)方法)。

數(shù)形結(jié)合的思想有助于數(shù)學(xué)的各個領(lǐng)域的融會貫通，有助于發(fā)揮數(shù)學(xué)思維的整體性，使之更為深刻、靈活，是現(xiàn)代數(shù)學(xué)教學(xué)中強調(diào)的基本數(shù)學(xué)思想之一。正如法國數(shù)學(xué)家拉格朗日所說：“當(dāng)‘?dāng)?shù)’和‘形’分道揚鑣的時候，數(shù)學(xué)的進(jìn)展就緩慢，應(yīng)用也有限。但是，一旦它們聯(lián)袂而行，它們就互相從對方吸收新鮮的活力，從而大踏步地走向各自的完美�！�

四、《九章算術(shù)》的影響

《九章算術(shù)》的內(nèi)容包括了初等數(shù)學(xué)中算術(shù)、代數(shù)以及幾何的相當(dāng)大部分的內(nèi)容，有著輝煌的成就，而且它形成了有自己特點的完整體系。這些特點就是：它重視理論，但不是那種嚴(yán)重脫離實際的理論，而在實際的計算方面具有很高的水平，有者一整套在當(dāng)時世界上堪稱是十分先進(jìn)的算籌算法，用算籌的不同位置和不同擺法，不僅可以表示任意大的數(shù)目，而且可以表示一個方程的各次項系數(shù)或是表示一個方程組中各方程的系數(shù)，進(jìn)一步又可以表示正數(shù)和負(fù)數(shù)。在數(shù)學(xué)命題的敘述方法上，也是從實際的問題出發(fā)，而不是從抽象的定義和公理出發(fā)。

這些特點，使得中國數(shù)學(xué)在許多重要方面，特別是在在用十進(jìn)制解決實際問題以及在計算技術(shù)等方面的顯著優(yōu)點，遠(yuǎn)遠(yuǎn)勝過古希臘的數(shù)學(xué)體系。這也正是古希臘數(shù)學(xué)的欠缺之處。而中國缺乏的卻是象古希臘《幾何原本》那樣嚴(yán)密邏輯的幾何學(xué)和數(shù)學(xué)思想。對現(xiàn)代數(shù)學(xué)來講，精密的計算和嚴(yán)密的證明理論同樣都是不可缺少的。

中國古代數(shù)學(xué)的這些內(nèi)容后來經(jīng)過印度和阿拉伯等國家輾轉(zhuǎn)傳入了歐洲，對文藝復(fù)興前后世界數(shù)學(xué)的發(fā)展，作出了應(yīng)有的貢獻(xiàn)。

如何學(xué)好算數(shù)

一、簡單的計算，也要循序漸進(jìn)地掌握

計算的學(xué)習(xí)是循序漸進(jìn)的，人教版一年級算數(shù)的安排是這樣分級的：

5以內(nèi)加減法

10以內(nèi)加減法

20以內(nèi)進(jìn)位加法

20以內(nèi)退位減法

100以內(nèi)加減法。具體又分為整十?dāng)?shù)加減整十?dāng)?shù)、兩位數(shù)加一位數(shù)或整十?dāng)?shù)、兩位數(shù)減一位數(shù)或整十?dāng)?shù)。兩位數(shù)加減兩位數(shù)是二年級的知識。

怎么樣，作為大人，看起來是不是覺得很啰嗦？100以內(nèi)的加減法都要分這么多級別來學(xué)？但是，當(dāng)你真的跟著孩子一路輔導(dǎo)過來，你就會發(fā)現(xiàn)，這個設(shè)置是多么的科學(xué)！

科學(xué)的設(shè)置，還要輔以科學(xué)的方法。最高效的學(xué)習(xí)方法當(dāng)然是“學(xué)少得多”，即把大部分時間精力用來學(xué)習(xí)其中的關(guān)鍵知識，然后再拓展到整體，達(dá)到以點帶面、融會貫通的學(xué)習(xí)效果。

對于一年級甚至整個小學(xué)階段來說，計算的重中之重就是10以內(nèi)加法和20以內(nèi)進(jìn)位加法。

是的，你沒看錯，就是這么少！

二、10以內(nèi)加減法

回頭剛開始朋友的問題，一開始學(xué)算數(shù)就是要掰著手指頭算的。不要小看這個過程，對于數(shù)這個抽象的概念，小朋友就是要通過肢體動作和肌肉記憶來慢慢理解和內(nèi)化。這個過程看似笨拙，卻對理解大有幫助。

先熟練掌握5以內(nèi)的加減法，就是掰著手指數(shù)，數(shù)得多了，慢慢就理解了，然后開始背，5以內(nèi)的分解和組成：

以3為例：3可以分成1和2、2和1；1和2組成3，2和1組成3。

然后是10以內(nèi)的分解，6到9方法同上，10有專門的好朋友歌：

一九一九好朋友，二八二八手拉手，三七三七真親密，四六四六一雙手，五五湊成一雙手。

去這樣，讓孩子熟練到看3想7，看2想8，看......，一旦達(dá)到這樣的效果，10以內(nèi)的加法就非常熟練了。

至于10以內(nèi)的減法？加法都會了，減法還是問題嗎？孩子不理解？拿數(shù)棒演示一下加法和減法的關(guān)系就好了。

10以內(nèi)的分解和組成

三、20以內(nèi)進(jìn)位加法

20以內(nèi)加減法的重點就是20以內(nèi)的進(jìn)位加法，用“湊十法”來掌握，舉個例子：

湊十法

可以看出，考驗的是10以內(nèi)加減法的基本功：看9想1，6可以分解成1和5，答案就出來了。

一開始用破十法一步一步算，做的多了，速度就上去了。輔導(dǎo)孩子的過程中，我發(fā)現(xiàn)孩子容易卡殼和出錯的是這幾個算式：7+8=15、6+7=13、5+8=13。于是，我干脆直接讓他背下來，他后來告訴我，自從我讓他背下來之后，他做題就比較快了，關(guān)鍵是，還不出錯。

對于你家孩子，你要觀察他容易在哪個地方卡殼，就讓他直接把那個算式背下來，形成機械記憶。

再次重申，減法是加法的變形，所以如果你家孩子算數(shù)不好，就把重點放在10以內(nèi)加法和20以內(nèi)進(jìn)位加法的練習(xí)上。我家孩子現(xiàn)在每天一頁口算，我不給加難度，還是做這些基礎(chǔ)，因為我知道這是基礎(chǔ)中的基礎(chǔ)，重點中的重點。

20以內(nèi)進(jìn)位加法

總結(jié)一下，孩子剛學(xué)習(xí)算數(shù)時，家長切不可操之過急，總以為很簡單，孩子應(yīng)該一下子掌握，卻不知，這些看似簡單的計算卻是數(shù)學(xué)大廈的根基，一開始要掌握的重點就是10以內(nèi)加法和20以內(nèi)進(jìn)位加法，其它皆為延伸和變形。

復(fù)雜，是簡單的變形，抓住重點，掌握核心，學(xué)少得多，孩子輕松，大人放松。